Диссертация по направлению 09. 04. 01 «Информатика и вычислительная техника»



страница4/8
Дата12.11.2016
Размер1.17 Mb.
Просмотров2278
Скачиваний0
ТипДиссертация
1   2   3   4   5   6   7   8

1.3 Кубические сплайны


Некоторая функция f(x) задана на отрезке [a,b], разбитом на части
[x_{i-1},x_i], a=x_0< x_1< ... <x_n=b (1.3.1).
Кубическим сплайном дефекта 1 называется функция s(x), которая:

  • на каждом отрезке [x_{i-1},x_i] является многочленом степени не выше третьей;

  • имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке [a,b];

  • в точках x_i выполняется равенство s(x_i) = f(x_i), т. е. сплайн s(x) интерполирует функцию f в точках x_i.

Перечисленных условий недостаточно для однозначного задания сплайна. Необходимо наложить какие-то дополнительные требования для построения сплайна.

Естественным кубическим сплайном называется кубический сплайн, удовлетворяющий также граничным условиям вида:


s\'\'(a) = s\'\'(b) = 0. (1.3.2).
Теорема: Для любой функции f и любого разбиения отрезка [a,b] существует ровно один естественный сплайн S(x), удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

Обычно для сплайна выбирают кубический полином

http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image002.gif,

определенный на интервале http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image003.gif из http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image004.gif.

При этом вся кривая представляет собой набор таких кубических полиномов (рис 1.4), с определенным образом подобранными коэффициентами http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image005.gif http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image006.gif http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image007.gif- параметр сплайна [3, 4].

http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image008.jpg

Рисунок 3 – Схема методов сплайнов.


Коэффициенты на каждом интервале определяются из условий сопряжения в узлах:

http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image009.gif. (1.3.2)

Кроме того, на границе при http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image010.gif и http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image011.gif ставятся условия



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image012.gif. (1.3.3)

Будем искать кубический полином в виде



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image013.gif.

Из условия http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image014.gif имеем



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image015.gif (1.3.4)

Вычислим производные:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image016.gif.

и потребуем их непрерывности при http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image017.gif:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image018.gif. (1.3.5)

Общее число неизвестных коэффициентов, очевидно, равно http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image019.gif, число уравнений (1.3.4) и (1.3.5) равно http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image020.gif. Недостающие два уравнения получаем из условия (1.3.3) при http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image010.gif и http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image011.gif:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image021.gif.

Выражение из (1.3.5) http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image022.gif, подставляя это выражение в (1.3.4) и исключая http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image023.gif, получим:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image024.gif.

Подставив теперь выражения для http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image025.gif + http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image026.gif в первую формулу (1.3.5), после несложных преобразований получаем для определения http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image027.gif разностное уравнение второго порядка:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image028.gif. (1.3.6)

С краевыми условиями:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image029.gif (1.3.7)

Условие http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image030.gif эквивалентно условию http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image031.gif и уравнению http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image032.gif. Разностное уравнение (1.3.4) с условиями (1.3.5) можно решить методом прогонки, представив в виде системы линейных алгебраических уравнений вида http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image033.gif , где вектор http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image003.gif соответствует вектору http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image034.gif , вектор F поэлементно равен правой части уравнения (1.3.6), а матрица A имеет следующий вид:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image035.gif,

где http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image036.gif и http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image037.gif

Метод прогонки, основан на предположении, что искомые неизвестные связаны рекуррентным соотношением:

http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image038.gif.

Используя это соотношение, выразим http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image039.gif и http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image040.gif через http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image041.gif и подставим в i-e уравнение:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image042.gif,

где http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image043.gif - правая часть i-го уравнения. Это соотношение будет выполняться независимо от решения, если потребовать:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image044.gif;

http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image045.gif.

Отсюда следует:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image046.gif;

http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image047.gif.

Из первого уравнения получим:



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image048.gif;

http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image049.gif.

После нахождения прогоночных коэффициентов http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image050.gif и http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image051.gif, используя уравнение (1), получим решение системы. При этом,



http://approximation.orgfree.com/image/spline_pic/image052.gif.

Сплайновая интерполяция хороша тем, что требует знания в узлах только значений функции, но не ее производных [5, 6, 7].






Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8


База данных защищена авторским правом ©nethash.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал