Диссертация по направлению 09. 04. 01 «Информатика и вычислительная техника»



страница3/8
Дата12.11.2016
Размер1.17 Mb.
Просмотров2245
Скачиваний0
ТипДиссертация
1   2   3   4   5   6   7   8

1.2 B-сплайны


Сплайны с локальным носителем. (B - сплайны). В последнее время в вычислительной практике широкое распространение получили B - сплайны (от английского слова bell — колокол), сосредоточенные на конечном носителе. Они используются как для интерполяции функций, так и в качестве базисных функций при построении методов типа конечных элементов.

Определение. B - сплайном, или базисным сплайном степени N – 1 дефекта 1 относительно узлов \left\{{t_i}\right\}_{i = n}^{n + n} называется функция


\begin{gather*} b_{n - 1, n} (t) = b_{n - 1}(t_n, t_{n + 1}, \ldots , t_{n + n}, t) = n \sum\limits_{i = n}^{n + n}\frac{{\left({t_i - t}\right)}^{n - 1}_{\max}}{\mathop{\pi}\limits^{n + 1}_{\substack{ j = n \\ j \ne i}} (t_i - t_j)} \\ (t_i - t)^{n - 1}_{\max} = \left\{ \begin{array}{ll} (t_{i} - t)^{n - 1}, & t \le t_i, \\ 0, & t> t_i, \\ \end{array} \right. \end{gather*}(1.2.1)
Пусть t_{n + i} = t_{n} + i\tau , т.е. рассматривается случай равномерной сетки.

Рассмотрим несколько частных случаев В - сплайнов.


Первый случай. N = 2. В этом случае сплайн строится наиболее просто.
\begin{gather*} b_{1, n} (t) = b_1(t_n, t_{n + 1}, t_{n + 2}, t) = 2\left[\frac{{(t_n - t)_{\max }}}{{(t_n - t_{n + 1})(t_n - t_{n + 2})}} +\right. \\ \left. \frac{{(t_{n + 1} - t)_{\max }}}{{(t_{n + 1} - t_n)(t_{n + 1} - t_{n + 2})}} + \frac{{(t_{n + 2} - t)_{\max }}}{{(t_{n + 2} - t_n)(t_{n + 2} - t_{n + 1})}}\right] = \\ = \frac{1}{{\tau ^2 }}\left[(t_n - t)_{\max } - 2(t_{n + 1} - t)_{\max } + (t_{n + 2} - t)_{\max }\right], \end{gather*} (1.2.2)
или
$ b(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac {1}{\tau^2}(t_n - t - 2t_{n + 1} + 2t + t_{n + 2} - t) = 0, & t \le t_n \\ \frac {1}{\tau^2}(0 - 2t_{n + 1} + 2t + t_{n + 2} - t) = \frac {1}{\tau} + \frac {t - t_{n + 1}}{\tau^2}, & t_n \le t \le t_{n + 1} \\ \frac {1}{\tau^2}(0 - 0 + t_{n + 2} - t) = \frac {1}{\tau} - \frac {t - t_{n + 1}}{\tau^2}, & t_{n + 1} \le t \le t_{n + 2} \\ 0, & t \ge t_{n + 2} \\ \end{array} \right. $(1.2.3)
Это функция "крышка" или "крышечка". Она часто используется в качестве базисной функции в методах конечных элементов.

Рисунок 1.1 – График функции "крышка".


Рассмотрим случай B - сплайна 2 - го порядка, задаваемого формулой
При t < tk - 2, t > tk - 2, s_k (x) \equiv 0.. Построенный сплайн обладает следующими свойствами:

  • S't (tk - 2) = S't(tk + 2) = 0 ;

  • S(tk - 1) = S(tk + 1) = 1 ;

  • S(tk - 2) = S(tk + 2) = 0.

При интерполяции функций можно поступить таким способом. Заметим, что для интерполяции с помощью сплайна необходимо потребовать выполнения условия
bi - 1Si - 1 + biSi + bi + 1Si + 1= fi, (1.2.4)
где b — коэффициенты интерполяции, S — B - сплайн, индекс указывает на точку носителя, в которой сплайн достигает своего максимума. Система таких соотношений, естественно, дополняется граничными условиями. Известно [1], что получившаяся система для определения коэффициентов разложения будет иметь трехдиагональную матрицу с диагональным преобладанием при выполнении ограничения на длины соседних шагов: они должны различаться не более чем в
$ \frac{1 + \sqrt{13}}{2} $ раза.
Второй случай. N = 4 (кубический B - сплайн ) имеет вид
\begin{gather*} b_{3, n}(t) = \frac{1}{{6\tau ^4 }}\left[(t_n - t)_{\max }^3 - 4(t_{n + 1} - t)_{\max }^3 + 6(t_{n + 2} - t)_{\max }^3 -\right. \\ \left. - 4(t_{n + 3} - t)_{\max }^3 + (t_{n + 4} - t)_{\max }^3\right], \end{gather*} (1.2.5)
или, после несложных упрощений:
$ \left\{ \begin{array}{ll} 0, & {t \ge t_n, } \\ {\frac {1}{6\tau^4}(t - t_n)^3, } & {t_n{\le} t \le t_{n + 1}}, \\ {\frac {1}{6\tau} + \frac {1}{2\tau^2}(t - t_{n + 1}) + \frac{1}{2\tau^3}(t - t_{n + 1})^2 - \frac {1}{2\tau^4}(t - t_{n + 1})^3, } & {t_{n + 1}{\le} t {\le} t_{n + 2}, } \\ {\frac{1}{6\tau} + \frac{1}{2\tau^2}(t_{n + 3} - t) + \frac{1}{2\tau^3}(t_{n + 3} - t)^2 - \frac{1}{2\tau^4}(t_{n + 3} - t)^3, } & {t_{n + 2}{\le} t {\le} t_{n + 3}, } \\ {\frac{1}{6\tau^4}(t_{n + 4} - t)^3, } & {t_{n + 3}{\le} t {\le} t_{n + 4}} \\ {0, } & {t \ge t_{n + 4}} \\ \end{array} \right. $ (1.2.6)

Рисунок 2 – Рассматриваемый сплайн.


Базисные сплайны заданной степени являются линейно независимыми функциями и образуют базис в функциональных пространствах, что можно использовать для представления с их помощью других функций этих же пространств. Любая, например, кусочно - постоянная функция на отрезке, составленном из равных интервалов, может быть единственным образом представлена как линейная комбинация В - сплайнов нулевой степени, любая кусочно - линейная функция — В - сплайнов первой степени и т.д. Базисные сплайны играют существенную роль при построении численных методов решения задач математической физики, например, метода конечных элементов в теории приближения функций, при решении задач компьютерной графики.

Для последнего класса задач также используются функции Бернштейна:


\begin{gather*} b_n^{n} (t) = \frac{n!}{n!(n - n)!}\frac{{(b - t)}^{n - n}{(t - a)}^{n}}{{(b - a)}^{n}}, \\ n = 0, \ldots , n, t \in [a, b]. \end{gather*} (1.2.7)
Функции Бернштейна иногда записывают в форме рекуррентного соотношения:
\begin{gather*} b_{- 1}^{n} (t) = 0, b_0^0 (t) = 1, b_i^{n} (t) = \frac{{(b - t)b_i^{n - 1} (t) + (t - a)b_{i - 1}^{n - 1}(t)}}{{b - a}}, \\ i = 0, \ldots , n, b_{n + 1}^{n} (t) = 0. \end{gather*} (1.2.8)
Такие рекуррентные последовательности применяются с целью уменьшения ошибок округления.

Функции Бернштейна являются базисными для построения кривых Безье, активно использующихся в компьютерной графике и техническом дизайне, появившихся в результате работ Безье и де Кастильо над формами автомобилей фирм Рено и Ситроен.

Подробнее о функциях Бернштейна в [2].




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8


База данных защищена авторским правом ©nethash.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал