Бутиков Евгений Иванович Свободное вращение твердого тела



Скачать 316.87 Kb.
Pdf просмотр
Дата14.02.2017
Размер316.87 Kb.
Просмотров346
Скачиваний0

Бутиков Евгений Иванович
Свободное вращение твердого тела
Под свободным движением твердого тела понимают движение, происходящее в от- сутствие внешних сил. Этот простейший вид движения принято называть «движением по инерции». Для материальной точки движение по инерции действительно оказывается очень простым – это равномерное прямолинейное движение. Но для твердого тела только поступательное движение по инерции (т.е. движение, при котором тело не вращается) бу- дет достаточно простым. Если же тело вращается, его движение даже в отсутствие внеш- них сил может быть значительно более сложным. Проиллюстрировать характерные черты
«вращения по инерции» призвана небольшая моделирующая компьютерная программа
(Java-апплет)
«Свободное вращение симметричного волчка»
, которая не требует предва- рительной установки на компьютер, а выполняется непосредственно в браузере.
Сведения из теории – главные оси инерции тела
Произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное движе- ние, в котором все точки тела движутся с такой же скоростью, как и центр масс тела, и вращение вокруг центра масс. В отсутствие внешних сил центр масс движется прямоли- нейно и равномерно. Для анализа вращения тела целесообразно перейти в систему центра масс, т.е. в инерциальную систему отсчета, в которой центр масс тела покоится, а оси ко- ординат имеют неизменные направления в пространстве. В этой системе отсчета движе- ние твердого тела – это вращение вокруг неподвижной точки (вокруг центра масс).
Кинематика вращения вокруг неподвижной точки характеризуется вектором мгно- венной угловой скорости
ω
. В каждый момент времени скорость любой точки твердого тела будет такой, как если бы тело только вращалось вокруг оси, направленной вдоль век- тора угловой скорости
ω
. Но в общем случае свободного вращения тела вектор угловой скорости и, следовательно, мгновенная ось вращения, непрерывно меняют свое направле- ние. Даже при отсутствии моментов внешних сил, т.е. при инерционном вращении (вра- щении «по инерции»), поведение мгновенной оси вращения оказывается весьма сложным.
Еще более сложными представляются при этом траектории отдельных точек тела.
С помощью компьютерной программы
«Свободное вращение симметричного волч- ка»
можно получить наглядное представление о том, как при вращении по инерции ведет себя мгновенная ось в пространстве и как меняется ее положение в самом теле, и по каким траекториям движутся разные точки тела. В программе моделируются движения не лю- бых тел, а лишь таких, которые принято называть симметричными волчками (см. ниже).
При вращении твердого тела вектор момента импульса L (иначе его называют векто- ром углового момента) пропорционален мгновенной угловой скорости
ω
, но, вообще го- воря, не совпадает с
ω
по направлению. Совпадение направлений L и
ω
будет только то- гда, когда угловая скорость направлена вдоль одной из трех взаимно перпендикулярных осей, называемых главными осями инерции тела. Для симметричных тел из однородного материала главные оси инерции совпадают с осями симметрии тела. Например, в случае прямоугольного параллелепипеда главные оси инерции проходят через геометрический центр параллельно ребрам. Моменты инерции тела относительно проходящих через центр масс главных осей называются главными центральными моментами инерции.
Свободное вращение твердого тела вокруг главных осей инерции, когда векторы L и
ω
совпадают по направлению, происходит очень просто. В самом деле, в отсутствие мо- ментов внешних сил сохраняется вектор момента импульса L. Отсюда сразу следует, что
1
сохраняется направление вектора угловой скорости
ω
в пространстве и сохраняется вели- чина угловой скорости. Поэтому главные оси инерции называют еще осями свободного вращения тела. Если твердое тело раскручено вокруг одной из этих осей, оно и дальше просто равномерно вращается вокруг оси, направление которой в пространстве не изменя- ется. Траектория любой точки тела – это окружность с центром на оси вращения.
Можно показать, что свободное вращение вокруг осей с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции устойчиво. Устойчивость вращения означает, что ма- лое отклонение направления угловой скорости от главной оси в начальный момент време- ни остается малым в процессе дальнейшего свободного вращения. Напротив, вращение вокруг главной оси инерции, которой соответствует промежуточное значение момента инерции, неустойчиво: если в начальный момент угловая скорость немного отклоняется по направлению от оси, в дальнейшем угол отклонения стремительно нарастает, и вместо простого равномерного вращения вокруг неизменного направления тело начинает совер- шать беспорядочное на вид кувыркание. При этом вектор мгновенной угловой скорости все время изменяет свое направление в пространстве и в самом теле.
Свойство устойчивости свободного вращения вокруг главных осей инерции легко проверить с помощью простого опыта. Возьмите полный спичечный коробок или любой брусок из однородного материала (дерева, пенопласта) и подбросьте его, одновременно закрутив вокруг одной из главных осей инерции. Наблюдайте, как вращается коробок, по- ка он находится в свободном полете. Если Вы раскрутили коробок вокруг оси, направлен- ной перпендикулярно самой большой его плоскости, т.е. вокруг оси с максимальным мо- ментом инерции, то во время полета коробка эта ось сохраняет свое направление в про- странстве независимо от того, как Вы направили ее в момент бросания – вертикально, го- ризонтально или под произвольным углом. То же самое будет происходить и тогда, когда коробок раскручен вокруг оси, параллельной самому длинному ребру, т.е. вокруг оси с наименьшим моментом инерции. Для сообщения коробку такого вращения придется не- много потренироваться: здесь потребуется некоторая «ловкость рук». Но при раскручива- нии вокруг оси, параллельной среднему ребру, коробок в полете практически сразу начи- нает беспорядочно кувыркаться. Как бы тщательно Вы не старались раскрутить коробок точно вокруг заданной оси, избежать какого-то небольшого отклонения начальной угло- вой скорости от этой оси не удастся. И если в случаях вращения коробка вокруг осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции малое начальное отклонение вектора уг- ловой скорости от оси остается малым в процессе дальнейшего движения, то для оси с промежуточным моментом инерции начальное отклонение быстро возрастает.
Момент импульса и угловая скорость симметричного волчка
Когда направление начальной угловой скорости отклонено от главной оси инерции тела, свободное вращение происходит сравнительно просто для так называемого симмет- ричного волчка. Симметричный волчок – это тело, у которого два из трех главных цен- тральных моментов инерции имеют равные значения. Примеры таких тел – однородный брусок с квадратным основанием и вообще любая призма или пирамида с основанием в виде правильного многоугольника (в том числе и треугольника), изготовленная из мате- риала постоянной плотности, круговые диск, цилиндр или конус, эллипсоид вращения
(вытянутый или сжатый сфероид), и т.п. При вращении таких тел вокруг оси симметрии момент импульса также направлен вдоль этой оси. Если же вектор угловой скорости
ω
отклонен от оси симметрии тела на некоторый угол, то вектор момента импульса L не совпадает с
ω
по направлению, но обязательно лежит в одной плоскости с
ω
и осью сим- метрии тела. Взаимное расположение этих векторов показано на рис. 1.
2

y
L
ω
x
z
n
y
L
ω
x
z
n
Рис. 1. Взаимное расположение векторов угловой скорости
ω
, момента импульса L и оси симметрии (вектор n) для тел вытянутой формы (слева) и сплющенной формы (справа).
Момент импульса L отклонен от оси симметрии тела на больший угол, нежели век- тор
ω
, если момент инерции тела относительно поперечной оси больше, чем относительно продольной оси. Такое взаимное расположение векторов L и
ω
относительно оси фигуры характерно для тел вытянутой формы (рис. 1, слева). Для сплющенного вдоль оси тела вектор L отклонен от оси тела на меньший угол, нежели вектор
ω
(рис. 1, справа).
Введем единичный вектор n, показывающий направление оси симметричного волчка в пространстве, т.е. выходящий из начала системы координат (из центра масс) и направ- ленный вдоль оси волчка. В каждый момент времени все три вектора n, L и
ω
лежат в од- ной плоскости, и при движении тела их взаимное расположение остается неизменным.
Легко понять, что в отсутствие моментов внешних сил плоскость, содержащая векторы n,
L и
ω
, равномерно поворачивается вокруг неизменного в пространстве направления век- тора L. В самом деле, скорость v той точки оси волчка, которая совпадает с концом векто- ра n, выражается через угловую скорость по формуле v = dn/dt =
ω
× n. Это означает, что в любой момент конец вектора n движется перпендикулярно рассматриваемой плоскости, увлекая ее за собой вместе с лежащими в ней векторами n и
ω
. Таким образом, вся плос- кость равномерно вращается вокруг L, а лежащие в ней векторы n и
ω
синхронно описы- вают в пространстве конусы, вершины которых лежат в начале координат. О таком пове- дении векторов n и
ω
говорят, что они совершают вокруг L регулярную прецессию.
Можно показать, что угловая скорость этой прецессии

пропорциональна моменту им- пульса L и обратно пропорциональна центральному моменту инерции волчка I

относи- тельно поперечной оси:

= L/ I

. Такую свободную прецессию оси волчка, происходя- щую в отсутствие внешних моментов при несовпадении угловой скорости с осью волчка, называют также нутацией. Подчеркнем, что ось волчка сохраняет свое направление в про- странстве (не прецессирует), если при свободном вращении угловая скорость направлена вдоль оси волчка: в таких случаях нутация не происходит.
Геометрическая интерпретация свободной прецессии
На рис. 2 показана наглядная геометрическая интерпретация поведения оси n волчка
и вектора мгновенной угловой скорости
ω
при описанной выше регулярной прецессии, т.е. при свободном вращении симметричного волчка. На этом рисунке вектор момента импульса L, сохраняющий свое направление в пространстве, для большей наглядности направлен вертикально (вдоль оси z).
3


L
ω
ω
z
y
x
0

z

ω
x
ω
0
y
n
n
Рис. 2. Геометрическая интерпретация свободной прецессии симметричного волчка как качения без проскальзывания мысленно связанного с телом подвижного аксоида по по- верхности неподвижного аксоида (
ω
=
ω
0
+

).
Вектор угловой скорости прецессии

= L/ I
⊥ направлен вдоль L. Векторы n и
ω
ле- жат в одной и той же проходящей через

вертикальной плоскости, и для вытянутого вдоль оси тела отклонены от

в одну сторону, как показано в левой части рис. 2. Вектор мгновенной угловой скорости
ω
совершает прецессию вокруг неизменного направления вектора момента импульса L с угловой скоростью

, т.е. описывает в пространстве не- подвижный круговой конус с вершиной в центре масс. Угол между осью этого конуса и образующей равен углу отклонения вектора
ω
от направления L. Этот угол остается неиз- менным при движении тела. В каждый момент времени вектор
ω
показывает направление оси вращения тела в пространстве. Поэтому множество мгновенных осей вращения в раз- ные моменты времени образует в пространстве круговой конус с вершиной в центре масс тела и осью, направленной вдоль L (вертикально на рис. 2). Такой конус называют непод- вижным аксоидом.
Представим себе еще один круговой конус, на этот раз жестко связанный с телом.
Вершина этого конуса также находится в центре масс, а его ось направлена вдоль вектора
n, показывающего направление оси симметрии тела в пространстве (см. рис. 2). Пусть угол между осью и образующей этого конуса равен неизменному при движении тела углу между векторами n и
ω
, т.е. вектор
ω
проходит вдоль образующей конуса. Другими сло- вами, мгновенная ось вращения
ω
в любой момент времени совпадает с одной из обра- зующих связанного с телом конуса, а вся боковая поверхность этого конуса показывает, как расположена мгновенная ось вращения в разные моменты времени в самом теле, т.е. дает положение всего множества мгновенных осей вращения относительно тела. По этой причине такой мысленно связанный с движущимся телом круговой конус называют под- вижным аксоидом.
4

Подвижный и неподвижный конусы соприкасаются своими боковыми поверхностя- ми вдоль вектора
ω
, т.е. вдоль мгновенной оси вращения. Скорости всех точек тела, ле- жащих в данный момент на мгновенной оси вращения, равны нулю. Это значит, что пове- дение мысленно связанного с телом подвижного аксоида представляет собой качение без проскальзывания по поверхности неподвижного аксоида. Точки тела, лежащие на оси симметрии, описывают окружности, центры которых находятся на оси неподвижного ак- соида. Движение точек тела, не лежащих на оси симметрии, можно представить как сло- жение двух движений, а именно, вращения тела вокруг собственной оси с одновременным движением этой оси по конусу прецессии.
Наглядному геометрическому представлению кинематики свободного вращения симметричного волчка в виде качения без проскальзывания подвижного аксоида по по- верхности неподвижного соответствует показанное на рис. 2 разложение вектора мгно- венной угловой скорости
ω
на сумму двух составляющих векторов
ω
0
и

:
ω
=
ω
0
+

Вектор
ω
0
соответствует вращению тела вокруг собственной оси симметрии. На- правление этого вектора неизменно в самом теле, а в пространстве он совершает прецес- сию вокруг направления вектора

, описывая вместе с осью тела круговой конус. Направ- ление второго слагаемого

неизменно в пространстве. Оно соответствует прецессии оси симметрии тела вокруг момента импульса L, сохраняющего свое направление.
Моделирование свободной прецессии
На рис. 3 показано окно программы
«Свободное вращение симметричного волчка»
с перспективной иллюстрацией свободной прецессии симметричного волчка вытянутой формы (слева) и геометрической интерпретацией такого вращения (справа).
Рис. 3. Окно моделирующей программы с иллюстрацией свободного вращения симмет- ричного волчка вытянутой формы (слева) и геометрической интерпретацией этого враще- ния (справа).
В случае симметричного волчка сплющенной формы векторы n и
ω
, как это видно из правой части рис. 1, расположены по разные стороны вектора момента импульса L. При этом связанный с телом подвижный аксоид соприкасается с неподвижным аксоидом своей
5
внутренней поверхностью, как показано в правой части рис. 2. Разложение вектора мгно- венной угловой скорости
ω
на составляющие
ω
0
и

свидетельствует о том, что в этом случае векторы
ω
0
и

образуют между собой тупой угол. Иначе говоря, вектор
ω
0
угло- вой скорости вращения вокруг собственной оси направлен от вершины подвижного ак- соида в сторону, противоположную вектору n (т.е. противоположно по сравнению со слу- чаем вытянутого тела). Это значит, что при прецессии оси тела против часовой стрелки, когда подвижный аксоид совершает внутреннее качение, т.е. катится своей внутренней поверхностью по охватываемому им неподвижному аксоиду, собственное вращение тела происходит в противоположную сторону, т.е. по часовой стрелке. Рис. 4 дает представле- ние о том, как компьютерная программа иллюстрирует такое поведение.
Рис. 4. Иллюстрация свободного вращения симметричного волчка сплющенной формы
(слева) и геометрическая интерпретация этого вращения (справа).
Компьютерная программа дает наглядную картину движения в пространстве под- вижного аксоида, который мы мысленно связываем с вращающимся по инерции телом.
Чтобы представить себе, по каким траекториям движутся при этом отдельные точки тела, можно поставить «флажок» в боксе «Траектория точки» на панели управления програм- мой (см. рис. 4) и задать положение этой точки, указав угол, на который отклоняется от оси симметрии волчка вектор, направленный в эту точку из центра масс. Для наглядности программа строит траекторию точки, находящейся на конце тонкой стрелки, выходящей из центра масс за пределы самого тела. Можно представлять себе эту стрелку как жестко связанную с телом («воткнутую» в него). Все точки этой стрелки описывают геометриче- ски подобные траектории. Траектория конца стрелки крупнее всех остальных, что позво- ляет наблюдать характерные особенности таких траекторий в более крупном масштабе.
Если для построения траектории выбрать точку на оси волчка, т.е. задать для на- правления на точку угол, равный нулю, то траектория точки будет представлять собой ок- ружность (см. рис. 4) – точки на оси волчка описывают наиболее простые траектории.
Можно, например, выбрать точку, которая находится на поверхности подвижного аксои- да, скажем, в начальный момент лежит на мгновенной оси вращения. Для этого нужно за- дать направление на точку равным углу отклонения вектора угловой скорости от оси волчка. При моделировании мы получим для такой точки траекторию с изломами, напо- минающую циклоиду: ее отдельные дугообразные участки, лежащие на поверхности сфе- ры, соединяются друг с другом острым «клювом», имея в точках соединения общую каса-
6
тельную. Если же мы выберем точку, которая лежит к оси вытянутого волчка ближе, чем поверхность подвижного аксоида, при моделировании получим волнообразную траекто- рию. Точки, удаленные от оси вытянутого волчка дальше, чем поверхность подвижного аксоида, т.е. находящиеся за его пределами, описывают петлеобразные траектории.
В случае симметричного волчка сплющенной формы, напротив, петлеобразные тра- ектории характерны для точек, которые находятся к оси симметрии ближе, чем поверх- ность связанного с телом подвижного аксоида. Рис. 5 дает представление о том, как вы- глядит траектория такой точки.
Рис. 5. Траектория точки, жестко связанной с симметричным волчком сплющенной фор- мы, вращающимся по инерции.
Промежуточное положение между рассмотренными выше случаями вытянутого вдоль оси и сплющенного симметричного волчка занимает так называемый шаровой вол- чок – тело, у которого все три главных центральных момента инерции равны. Шаровой волчок не обязательно должен иметь сферическую форму. Например, у куба из однород- ного материала все три главных момента инерции тоже равны, т.е. при вращении он ди- намически эквивалентен шару. Любой правильный многогранник (тетраэдр, икосаэдр, додекаэдр) также представляет собой шаровой волчок. Все такие тела при вращении вокруг центра масс ведут себя одинаково.
У шарового волчка направления главных осей инерции могут быть выбраны произ- вольно: любую тройку взаимно перпендикулярных осей с началом в центре масс можно рассматривать в качестве главных. В частности, для кубика эти оси совершенно необяза- тельно направлять параллельно ребрам. Это значит, что любая ось, проходящая через центр масс, будет осью свободного вращения – при любом направлении вектора угловой скорости
ω
вектор момента импульса L будет совпадать с ним по направлению. Для ша- рового волчка вращение по инерции вокруг любой оси представляет собой равномерное вращение с сохранением направления оси вращения в пространстве.
Само собой разумеется, что рассмотренная выше геометрическая интерпретация сво- бодного вращения симметричного волчка применима и к частному случаю равенства про- дольного и поперечного моментов инерции, т.е. к случаю шарового волчка. Так как у шарового волчка вектор угловой скорости
ω
и направленная вдоль него мгновенная ось вращения сохраняют свое направление в пространстве (не прецессируют), то конус не-
7
подвижного аксоида вырождается в полупрямую, направленную вдоль вектора момента импульса L. Иллюстрация поведения шарового волчка в компьютерной программе пока- зана на рис. 6. Качение подвижного аксоида, жестко связанного с телом, по выродивше- муся в прямую неподвижному аксоиду сводится к равномерному вращению подвижного конуса вокруг своей образующей. Эта образующая совпадает по направлению с вектором момента импульса L и неизменным вектором угловой скорости
ω
. Любая точка шарового волчка (например, конец стрелки на рис. 6, жестко связанной с телом) описывает окруж- ность с центром на оси вращения.
Рис. 6. Свободное вращение шарового волчка и его геометрическая интерпретация.
Управление программой
Программа позволяет изменять параметры моделируемой системы и условия наблю- дения. Для удобства наблюдения изображение в окнах можно поворачивать вокруг верти- кальной и горизонтальной осей – вращать куб, в центре которого находится тело, и пово- рачивать оси координат. Этим достигается возможность смотреть на изображение трех- мерных объектов с разных точек, например, сбоку, сверху или снизу. Для изменения точ- ки зрения нужно привести указатель мыши в пределы окна, нажать левую кнопку и, не отпуская ее, перемещать («перетаскивать») указатель в ту или иную сторону, добиваясь наиболее удобного для наблюдения расположения осей координат и объектов на экране.
Если при этом одновременно удерживать нажатой кнопку «Control» на клавиатуре, то мышью можно сдвигать изображение в желаемом направлении. Если же удерживать на- жатой кнопку «Shift», то при перемещении указателя мыши будет изменяться масштаб изображения – предметы будут приближаться либо удаляться от наблюдателя.
Вращение тела можно отображать в удобном для наблюдения масштабе времени.
Изменение временного масштаба достигается введением задержки, которую можно изме- нять с помощью движка в нижней части панели управления. Назначение других органов управления на этой панели интуитивно понятно. Самая верхняя кнопка служит для пуска и приостановки моделирования. Вторая кнопка позволяет выполнять моделирование по- шагово. Третья кнопка восстанавливает начальные условия, а четвертая – задаваемые по умолчанию значения параметров.
При первом знакомстве с программой можно не утруждать себя вводом параметров, а ограничиться выбором заранее заготовленных примеров из предлагаемого списка. Этот
8
список можно открыть, поставив «галочку» в соответствующем боксе на панели управле- ния. Для детального изучения свободной прецессии следует проделать моделирование при разных значениях параметров. Изменять параметры можно перемещением движков на па- нели управления, либо вводя нужные значения с клавиатуры. Предварительно нужно при- остановить моделирование кнопкой «Пуск/Пауза». При вводе какого-либо параметра с клавиатуры поле ввода становится ярко желтым. Завершать ввод нужно нажатием клави- ши «Enter», при этом поле ввода принимает прежний цвет.
Инертные свойства симметричного волчка при вращении определяются продольным и поперечным моментами инерции. Для моделирования существенны не сами по себе зна- чения этих моментов, а только их отношение. В программе отношение момента инерции относительно поперечной оси к продольному задается параметром «Вытянутость». Про- грамма допускает значения этого параметра в пределах от 0,5 до 5,0. Если этот параметр равен 1, поперечный и продольный моменты инерции равны, т.е. симметричный волчок превращается в шаровой. У вытянутого вдоль оси тела этот параметр больше единицы
(поперечный момент инерции больше продольного), у сплющенного – меньше единицы.
Еще один параметр, который можно изменять в программе – это угол между направ- лением вектора угловой скорости и осью волчка. На панели управления он обозначен как
«Наклон». Значение угла наклона нужно вводить в градусах. Допустимые значения лежат в интервале от 0 до 40 градусов. Величину угловой скорости можно изменять в пределах от 0,5 до 10 (в относительных единицах). Изменение этого параметра сказывается на бы- строте вращения тела, но не изменяет качественно характера его движения. О том, как можно включить построение траектории какой-либо точки волчка, совершающего сво- бодное вращение, и как выбрать положение этой точки относительно оси волчка, уже бы- ло сказано выше. Сняв «флажок» в самом нижнем боксе панели управления, можно сде- лать светлым фон окна, в котором программа отображает движение тела и его геометри- ческую интерпретацию в виде качения подвижного конуса по поверхности неподвижного.
9

Document Outline

  • Свободное вращение твердого тела
    • Сведения из теории – главные оси инерции тела
    • Момент импульса и угловая скорость симметричного волчка
    • Геометрическая интерпретация свободной прецессии
    • Моделирование свободной прецессии
    • Управление программой

Каталог: butikov


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©nethash.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал