Учебное пособие Д. А. Кронберг, Ю. И. Ожигов, А. Ю. Чернявский



Скачать 425.08 Kb.
Pdf просмотр
страница1/4
Дата13.02.2017
Размер425.08 Kb.
Просмотров362
Скачиваний0
ТипУчебное пособие
  1   2   3   4

Квантовая информатика и квантовый компьютер
Учебное пособие
Д.А.Кронберг, Ю.И.Ожигов, А.Ю.Чернявский
МГУ имени М.В.Ломоносова, факультет ВМК
1

Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов, слушающих курс ѕКвантовые вычисленияї или любой другой курс по основам квантовой информатики.
Проработка данного пособия означает освоение основами квантовой информатики,
что дает возможность дальнейшей специализации в этом направлении, включая поступление в аспирантуру. Работа с данным пособием заключается в самостоятельном решении предлагаемых в конце задач с использованием сведений, изложенных в регулярном курсе. В случае необходимости в качестве источника теоретических сведений можно вместо курса можно также использовать пособие [65]. Все теоретические сведения, формально необходимые для решения задач,
кратко излагаются в данном пособии. При решении задач можно, в случае необходимости, пользоваться указанной литературой как вспомогательным средством,
но только если задача упорно не поддается решению, или для самоконтроля - после получения решения. Самая важная часть работы состоит именно в попытках найти самостоятельное решение всех предлагаемых задач.
Решать их надо последовательно, используя помещенные подсказки. После решения всего списка задач можно сдавать экзамен по дисциплине квантовая информатика на кафедре и начинать научные исследования в данной области.
2

Оглавление
1 Квантовые процессы
4 1.1 Основные положения одночастичной квантовой механики . . . . . . . . . . . . . .
5 1.1.1 Кубитовый формализм . . . . . . . .
12 1.1.2 Тензорные произведения . . . . . . .
19 1.2 Унитарная динамика и измерения . . . . . .
22 1.2.1 Абстрактная модель квантового компьютера . . . . . . . . . . . . . . .
26 1.3 Роль запутанности . . . . . . . . . . . . . . .
29 1.3.1 Моделирование квантовых систем . .
33 2 Задачи
38 2.1 Физические реализации квантовых компьютеров . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Литература
59 3

Глава 1
Квантовые процессы
В данном разделе описывается формализм квантовой физики с кубитовой точки зрения, так что студент,
знакомый с основами квантовой теории, сможет переписать любую ее часть на этом языке. Обычно в литературе по физике используется традиционные обозначения из теории функций, например, волновую функцию записывают как ?(x), что вызывает коллизию со значением волновой функции в конкретной точке x, и потому для него используется интегральное представление
?(y)?
x
(y) dy
. Эти традиционные обозначения удобны для ручных вычислений, при которых разрешение таких коллизий не создает проблемы для человека. Однако для компьютерного моделирования необходима большая степень формализации основных понятий. Более того,
формализм должен быть приспособлен к тому, что мы будем работать только с конечными числами даже если в используемых нами формулах можно подставлять бесконечные величины. Особенно это касается квантовой электродинамики, для которой здесь предлагается формальная система обозначений кубитового типа.
4

1.1 Основные положения одночастичной квантовой механики
Главный постулат квантовой механики состоит в том, что вся динамика любой системы определяется ее волновой функцией, которая является комплексной функцией от координат все частиц, составляющих эту систему:
?(t, r
1
, r
2
, . . . , r n
).
Здесь r j
есть координаты частицы j (имеются в виду не только пространственные координаты частиц, но и их спиновые координаты). Эта волновая функция должна рассматриваться как вектор в гильбертовом пространстве состояний n частичной системы. Значения этой функции называются амплитудами, соответствующими пребыванию частицы в данный момент времени t в таком состоянии, при котором для каждого j = 1, 2, . . . , n частица j имеет координаты r j
. Такая трактовка состояния в виде вектора сразу ведет к нетривиальному следствию: любая линейная комбинация состояний снова является некоторым возможным физическим состоянием данной системы. Таким образом, множество состояний обладает свойством линейности, и это означает, что любое уравнение, которому подчиняется вектор ?, должно быть линейным. Этот принцип называется принципом суперпозиции, и из него вытекает существование особого процесса,
называемого интерференцией амплитуд,
который не имеет прямого аналога в классической физике (не считая волновую физику, где интерференция проявляется как коллективный эффект, к чему мы вернемся).
Интерференцию амплитуд проще всего
5
продемонстрировать, применяя матрицы. Представим себе, что мы выбрали базис в гильбертовом пространстве состояний, и представляем всякий вектор ? в виде некоего столбца координат этого вектора в данном базисе. Тогда из принципа суперпозиции вытекает, что состояние в следующий момент времени t + ?t можно найти, применив к состоянию в момент времени t некий линейный оператор
U
, называемый оператором унитарной эволюции (дальше мы увидим, что он должен быть не только линейным,
но и унитарным). Этот факт можно выразить на языке матричного умножения так:
u
1,1
u
1,2
u
1,n u
2,1
u
2,2
u
2,n u
n,1
u n,2
u n,n
?
1
(t)
?
2
(t)
?
n
(t)
=
?
1
(t + ?t)
?
2
(t + ?t)
?
n
(t + ?t)
(1.1)
То есть любая амлитуда ?
j
(t + ?t)
может быть найдена по формуле
?
j
(t + ?t) =
n i=1
?
i
(t)u j,i
(1.2)
Формула (1.2) означает, что для нахождения амплитуды в некоторой точке в следующий момент времени надо просуммировать все амплитуды во всех точках в предыдущий момент, предварительно умножив их на соответствующие амплитуды перехода из этих точек в исходную. Значит, движение квантовой частицы можно представлять себе как движение некоей среды, где амплитуда в любой точке складывается из вкладов,
которые вносят в эту точку движения этой частицы из всех других точек. При этом каждый вклад берется с комплексным весом, соответствующим описанному переходу из точки в точку. Это представление квантовой частицы в виде среды порождает аналогию квантовой физики с гидродинамикой.
6

А теперь рассмотрим два последовательных перехода,
которые осуществляются с помощью того же оператора эволюции U: от момента t до момента t + 2?t. Тогда у нас получится: ?(t + 2?t) = U
2
?(t).
Выписав подробнее,
мы получим ?
j
(t + 2?t) =
i,k
?
i
(t)u i,k u
k,j
. Это означает,
что квантовая частица может двигаться, вообще говоря,
вдоль произвольной траектории, а не только по прямой, и ее амплитуда в любой точке есть результат суммирования амплитуд по всем путям, ведущим из каждой точки в данную. При этом вклад в сумму каждого пути получается умножением элементов матрицы эволюции U,
соответствующих всем последовательным частям этого пути (мы представляем путь в виде ломаной и части
- это ее звенья). Таким образом, амплитуда считается как сумма по всем путям, а вдоль каждого пути это - произведение амплитуд переходов по всем его последовательным частям.
Это правило справедливо везде, в том числе и в квантовой электродинамике где процессы описываются диаграммами. Оно в точности соответствует формуле для полной вероятности сложного события в теории вероятностей, с той лишь разницей, что в теории вероятности величины вещественные и неотрицательные,
а у нас здесь - комплексные. Такая аналогия наводит на мысль о возможности статистической интерпретации квантовой теории, а также на возможность отказа от комплексных чисел при ее описании, - мы также вернемся к этим идеям позже.
Классическим величинам в
квантовой теории соответствуют операторы. Величине координаты x соответствует оператор умножения на эту координату:
x : f (x) ?? xf (x)
, вектору Їr = (x, y, z) - оператор
Ї
r :
f (x, y, z) ?? (xf (x, y, z), yf (x, y, z), zf (x, y, z))
,
импульсу p x
вдоль координатной оси x - оператор
7
импульса p x
=
h i
?
?x
, полному импульсу Їp - оператор
Ї
p =
h i
(
?
?x
,
?
?y
,
?
?z
)
, энергии - оператор энергии p
2 2m
+ V (x)
,
где V - потенциальная энергия частицы. Оператор энергии называется гамильтонианом. При этом мы принимаем обычные правила перехода к векторым величинам,
например оператор квадрата модуля координаты действует как |r|
2
: f (x, y, z) ?? (x
2
+ y
2
+ z
2
)f (x, y, z)
,
оператор квадрата импульса - как p
2
:
f ?? ?h
2
?f
(то есть квадрат трактуется нами как скалярный квадрат), моменту импульса Їr Ч Їp - оператор момента,
координаты которого получаются по правилу взятия векторного произведения из координат его сомножителей
- операторов, и т.д.
Преобразование
Фурье от волновой функции называется импульсным представлением волновой функции:
?(p) =
R
e
?
ipx h
?(x)dx,
(1.3)
где обратный оператор выглядит так:
?(x) =
1 2?h
R
e ipx h
?(p)dp.
Полный переход к импульсному представлению и обратно в трехмерном пространстве имеет вид
?(p)
=
R
3
e
?
ip·R
h
?(R)d
3
R,
?(R) =
1
(2?h)
3
R
3
e ip·R
h
?(p)d
3
p,
При этом если волновая функция зависит от 3
переменных, можно переходить к ее импульсному представлению по каждой из координат независимоо от других, например, можно рассмотреть функцию
8
вида ?(x, p y
, z)
, или ?(p x
, y, p z
)
, и т.д. Подчеркнем,
что волновая функция не меняется при переходе к ее импульсному представлению - она представляет собой тот же самый вектор в гильбертовом пространстве состояний.
Импульсное представление есть просто запись этого вектора в другом базисе, в котором базисные векторы - это не дельта функции, как при координатном представлении,
а функции вида exp(ipR). Мы могли бы выбрать какой- либо иной базис, например, соответствующий собственным векторам эрмитова оператора суммы R + p импульс плюс координата, и завести соответствующее представление волновых функций, если это необходимо. Таким образом,
все манипуляции, связанные с переходом к импульсному представлению, есть простая операция изменения базиса.
Использование таких переходов есть часть стандартного формализма, и из этого следует важный для дальнейшего вывод: трудности с записью тех или иных взаимодействий в разных базисах свидетельствуют о серьезных проблемах.
Важнейшим правилом квантовой механики является правило Борна, которое гласит, что квадрат модуля волновой функции есть плотность вероятности обнаружения частицы в точке x:
p(x) = |?(x)|
2
(1.4)
Это правило инвариантно относительно базиса пространства состояний в том смысле, что плотность вероятности обнаружить импульс частицы равным p есть квадрат модуля импульсного представления волновой функции.
Правило Борна является сутью квантовой теории. Оно утверждает, что с ее помощью мы можем предсказать только вероятности наступления того или иного события но не сами эти события, как в классической физике.
Использование математического понятия
9
вероятности автоматически предполагает существование так называемого пространства элементарных исходов,
каждый из которых определяет уже не вероятность, а точное наступление события. Идеология копенгагенской квантовой теории предполагает, что нам принципиально не доступно пространство элементарных исходов. Этот запрет на доступ к элементарным исходам обычно формулируют как отсутствие скрытых параметров. Этот идеологический постулат
1
имеет смысл только в рамках классического математического аппарата, лежащего в основе квантовой теории. В дальнейшем мы рассмотрим конструктивную трактовку вероятности в квантовой теории, при которой элементарные исходы принадлежат административной части модели. В настоящее время появились эксперименты,
связанные с
квантовой нелокальностью, точное рассмотрение которых требует явных манипуляций с элементарными исходами.
Динамика волновой функции в
стандартном формализме зависит от степени изолированности рассматриваемой системы, причем не существует точного определения изолированности. В случае изолированной системы динамика описывается уравнением Шредингера,
в случае контакта с окружением - измерениями волновой функции. Измерение в данном базисе пространства волновых функций есть случайная величина, принимающая значения из векторов этого базиса с плотностью вероятности, задаваемой правилом
Борна. Окружение всегда считается классической системой, подчиняющейся законам классической физики,
и измерение системы дает вероятностное распределение ее состояний, подчиняющееся правилу Борна. Уравнение
1
Другим постулатом того же статуса является представление о тождественности элементарных частиц одного типа.
10

Шредингера имеет вид ih
??
?t
= H?
(1.5)
где H есть оператор энергии частицы (или системы частиц). В простейшем случае частицы в потенциальном поле оператор энергии выписан выше. В более сложных случаях
(несколько частиц,
наличие векторного потенциала электромагнитного поля) оператор энергии получается из выражения для классической энергии с помощью замены всех физических величин на соответствующие им квантовые операторы. В частности,
из уравнения Шредингера вытекает, что в случае постоянства потенциальной энергии во времени, общее решение уравнения Шредингера дается выражением
?(x, t) = exp
?
i h
Ht
?(x, 0)
(1.6)
Экспонента от оператора определяется как соответствующий ряд, составленый из операторов. Это же выражение можно использовать и для непостоянных гамильтонианов, только экспоненту надо тогда трактовать как так называемую хронологическую экспоненту.
По существу, мы описали весь стандартный формализм квантовой теории. Из этих основных положений вытекают некоторые другие (например, касающиеся измерений и возможностей выбора базисов), которые мы рассмотрим в кубитовом формализме. Все выводы копенгагенской квантовой теории получаются из этих основных положений с помощью разного рода эвристик и аналогий с классической физикой; математический аппарат стандартной квантовой теории исчерпывается изложенным в этом параграфе.
11

1.1.1 Кубитовый формализм
А сейчас займемся важным моментом перехода от волновой функции к конечному вектору. Эта процедура называется переходом к
кубитовому представлению волновой функции. Собственно кубиты в данном случае играют декоративную роль, а сейчас важна процедура дискретизации волновой функции.
Дискретизация волновых функций имеет глубокий смысл, так как она связана с наличием возможного зерна в конфигурационном пространстве. Если мы предположим, что конфигурационное пространство не является делимым до бесконечности, а в нем существует наименьшая ненулевая длина d > 0, то у нас получится,
что вместо непрерывной волновой функции надо рассматривать ее дискретное приближение, которое на самом деле будет уже не приближением, а точным выражением, то есть приближением надо будет считать как раз непрерывный вариант волновой функции.
Существование такой дискретизации пространства косвенно вытекает из расходимости рядов в квантовой электродинамике (см. ниже), а также из свойств волновых функций даже одной частицы при уменьшении зерна пространственного разрешения (это мы рассмотрим в параграфе, посвященном фейнмановским интегралам по траекториям). Но главное, для чего на самом деле нужно дискретное представление - это конструктивизация квантовой теории. Необходимость рассматривать и работать именно с приближениями координат частиц, а не с их вещественными точными значениями, ведет нас к кубитовому формализму.
Зерно пространственного-временного разрешения d =
(d x
, d t
)
может и не быть абсолютной величиной, а зависеть от рассматриваемого процесса. Оно фактически
12
определяет степень несовершенства методов классической математики, которыми мы поневоле будем пользоваться,
даже при построении алгоритмов. Это зерно есть граница применимости одного такого аналитического метода, на одном шаге конструктивного приближения реального процесса (см. секцию Конструктивный математический анализ).
Пусть у нас имеется одна частица, координаты которой принимают значения из некоторого конфигурационного пространства
R
(для одномерной частицы это вещественные числа, но в данном случае структура R нам не очень важна). Разобъем R на конечное число сегментов
D
1
, D
2
, . . . , D
m и рассмотрим приближение функции ?
ступенчатой функцией |? , которая принимает на сегменте D
j некоторое значение ?
j
?
C
. Пусть |j обозначает характеристическую функцию сегмента D
j
Тогда мы можем записать формальное равенство
|? =
m j=1
?
j
|j
(1.7)
Рассмотрим линейное пространство,
порожденное функциями |j . Если ввести скалярное произведение функций по стандартному правилу (g, f) =
Ї
f (x)g(x)dx
,
у нас получится, что |j образуют ортогональный базис этого пространства. Если мы нормируем их (это можно сделать, фиксировав ?
j и подбирая нужные D
j
), то этот базис будет ортонормированным. Тогда равенство
(1.7) будет являться разложением вектора |?
по ортонормированному базису, состоящему из векторов |j .
Представление волновой функции в виде (1.7) является корректным, в отличие от двусмысленного выражения
?(x)
, поскольку в последнем выражении переменная x
является свободной, и потому неясно, что выражает запись ?(x) - функцию ? или ее значение в конкретной
13
точке x. Подобные тонкости не важны в классической математике, так как при аналитических вычислениях свободную переменную всегда можно связать логическим квантором, но в конструктивной математике они важны.
При построении алгоритма мы должны четко различать саму функцию, включающую все свои значения, как в
(1.7) и ее конкретное значение в фиксированной точке.
Теперь мы можем установить соответствие квантового формализма и
линейной алгебры.
Будем через
|a понимать запись вектора a в конечномерном гильбертовом пространстве состояний в виде столбца его координат в выбранном заранее базисе. Тогда действие линейного оператора A на данный вектор выразится как результат матричного умножения A|a ,
где под A понимается матрица A в данном базисе.
Договоримся также считать, что a|
есть вектор
- строка, полученная из |a транспонированем и комплексным сопряжением элементов. Эта операция - транспонирование и комплексное сопряжение - называется просто сопряжением, когда речь идет о матрицах. Будем также сливать две рядом стоящие вертикальные черты в обозначениях. Тогда скалярное произведение векторов a и b запишется как a|b . Запись a|A|b можно толковать вдояко: либо как a|(A|b ), либо как ( a|A
?
)|b
. Но если матрица A самосопряженная, то есть A = A
?
,
двойственность исчезает, и мы можем использовать выписанное выражение без скобок. Самосопряженные матрицы еще называют эрмитовыми. Матрицы вида exp(iH)
, где H - эрмитова, называются унитарными.
Приведением к диагональному виду легко доказывается,
что матрица U унитарна тогда и только тогда, когда
U
?1
= U
?
, или, что то же самое, когда матрица U
сохраняет все расстояния в гильбертовом пространстве.
Можно определить измерение состояния |?
в
14
ортонормированном базисе
|?
1
, |?
2
, . . . , |?
N
как случайную величину, принимающую значения |?
j с
вероятностями | ?
j
|? |
2
. Это есть переформулировка борновского правила. Таким образом, измерение задает случайный процесс, который называется коллапсом волновой функции: при этом процессе происходит переход от состояния |? к одному из состояний |?
j
,
причем для каждого j = 1, 2, . . . , N нам известна исключительно вероятность перехода в это состояние, и больше ничего. В этом и состоит суть стандартной или копенгагенской квантовой теории. Она является полной в том смысле, что попытка ее изменить, например, ввести,
помимо волновой функции |? еще и некоторые другие параметры, определяющие состояние (так называемые скрытые параметры) неизменно приводит к отказу от использования стандартного аппарата вообще, и при отсутствии альтернативного аппарата такая попытка превращается в ничто.
Копенгагенская квантовая механика обладает всей гибкостью, необходимой для полной физической теории одной - двух частиц. Например, любой физической величине ставится в соответствие эрмитов оператор A,
такой что классические значения этой величины являются собственными числами этого оператора. Измерение этой величины есть измерение состояния рассматриваемой системы в базисе собственных векторов оператора A. Если у двух операторов общий набор собственных функций (это то же самое, что их коммутативность), то это означает, что данные величины могут быть измерены одновременно (с одинаково высокой точностью). Примером может служить энергия частицы и проекция оператора момента импульса на одну из координатных осей (чаще выбирают z). Если же операторы не имеют общей системы собственных функций, то соответствующие им величины не могут
15
быть измерены одновременно. Например, координата и импульс вдоль этой же оси не могут быть измерены одновременно. Действительно, нетрудно проверить, что если мы выбираем сегменты D
j как последовательные отрезки равной длины, то с точностью до коэффициента матрица оператора координаты x будет иметь вид
?
?
?
?
1 0
. . . 0 0
2
. . . 0 0
0 3
?
?
?
?
(1.8)
в то время как матрица оператора импульса для той же координатной оси имеет вид
DF T
?h
2 1
2
/2m
0 0
0
?h
2 2
2
/2m
0 0
0
?h
2 3
2
/2m
DF T
?1
(1.9)
где
DF T
обозначает дискретное преобразование
Фурье (см. Приложение - QF T ). Числа 1, 2, . . . взяты здесь для примера. Это просто числовые значения координаты или импульса в двоичном представлении.
Действительно,
первое утверждение вытекает из определений непосредственно, а для доказательства второго заметим, что преобразование Фурье переводит дифференцирование в умножение на мнимую единицу и аргумент результата преобразования Фурье. Это свойство здесь и использовано для того, чтобы диагонализовать матрицу,
соответствующую оператору импульса.
Эта матрица будет диагональной в базисе, который получается преобразованием Фурье из исходного, так что у операторов координаты и импульса действитеьно нет общих собственных векторов. Разумеется, если рассмотреть, например, координату x и оператор импульса вдоль другой оси, например, p y
, то у таких
16
операторов будет общая система собственных векторов, и их можно измерить одновременно.
Одновременное измерение здесь трактуется как измерение обоих величин с одинаковой точностью. То есть возможность сколь угодно точно знать одновременно значения и одной и другой величины. Если же отказаться от требования абсолютной точности, то, конечно,
измерить можно любые две величины. При этом,
если одна из них приняла определенное значение (то есть наш вектор состояния совпал с собственным вектором соответствующего этой величине оператора), то другая,
вообще говоря, будет иметь некоторое вероятностное распределение значений в соответствии с правилом
Борна. Рассмотрим, для примера, двумерное гильбертово пространство, в котором измеряется ѕкоординатаї, а затем
ѕимпульсї частицы. Я заключаю название физических величин в кавычки для того, чтобы подчеркнуть,


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©nethash.ru 2017
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал