Лабораторная работа №7 Компьютерные технологии решения систем уравнений



Скачать 77.04 Kb.
Дата14.02.2017
Размер77.04 Kb.
Просмотров272
Скачиваний0
ТипЛабораторная работа

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
Компьютерные технологии решения систем уравнений.

Цель работы – научиться использовать математическую систему MathCad для решения систем уравнений.



Методические рекомендации

Решение систем уравнений. Компьютерные технологии

В среде Mathcad системы уравнений решаются с помощью функций lsolve, Find, Minerr.

Функция lsolve позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Функция Find решает линейные и нелинейные уравнения методом итераций.

Функция Minerr, так же как и функция Find, решает линейные и нелинейные алгебраические уравнения. Отличие состоит в том, что эта функция может выдать решение, не достигнув в требуемой точности итераций. Это позволяет получить приближенное решение в случае, если функция Find не выдает решения. Следует иметь в виду, что при использовании функции Minerr необходимо обязательно проверять правильность решения системы уравнений.

Функция lsolve и Find позволяют получать решения символьным методом, результатом которого может быть численное решение или решение в аналитическом виде.



Функция lsolve.

Функция lsolve имеет вид:



Lsolve(M,V), где :

  • M- матрица коэффициентов системы линейных уравнений;

  • V- вектор правых частей системы уравнений;

Технология решения уравнений следующая:

  • Образование матрицы М коэффициентов системы уравнений;

  • Образование вектора v правых частей системы уравнений;

  • Ввод функции lsolve;

  • Получение решения путем нажатия клавиши <=>.

Решение матричным методом можно получить, не используя функцию lsolve. Для этого достаточно ввести выражение M-1*V и нажать клавишу <=>.

Решение системы уравнений посредством функции lsolve и с помощью матричного представления можно получить, используя символьные вычисления. Для этого служит знак (→) (стрелка вправо), образуемый нажатием клавиш +<.>(точка). Решение получается после нажатия клавиши .

Приведём примеры решения системы уравнений с помощью функции lsolve.

Пример 1. Пусть необходимо решить следующую систему линейных уравнений:

Решение системы уравнений двумя способами показано на рис.1. Из рис.1 видно, что при символьных вычислениях результат получен с более высокой точностью.



Рисунок 1

Символьные вычисления позволяют решать алгебраические уравнения, когда коэффициенты уравнений представляют собой символьные переменные.

Пример 2. Необходимо решить следующую систему алгебраических уравнений:

Технология решения остается прежней. Решение приведено на рис.2.



Рисунок 2.

При решении системы уравнений матричным способом, выражение M-1*V выдаст то же решение, но в ином виде.

Имеют место случаи, когда функция lsolve не выдает решения. Приведём один из них.



Пример 3. Необходимо решить следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Решение приведено на рис3.



Рисунок 3

Решение не получено потому, что главный определитель системы равен нулю. В этом легко убедиться, вычислив определитель с помощью команды главного меню Symbolics | Matrix | Determinant. К сожалению, Mathcad не отказалась от ответа, а выдала ответ явно неверный. Неопытный пользователь может принять его за решение системы уравнений.

Функция Find

Функция Find позволяет решать системы линейных и нелинейных уравнений методом итераций. Она имеет вид:

Find(x,y,z,…),

Где x,y,z- искомые неизвестные.

Технология решения систем уравнений выглядит так:


  • Задание начальных приближений для всех неизвестных: x:=x0, y:=y0, z:=z0, …;

  • Ввод слова Given, указывающего на то, что далее следует система уравнений;

  • Ввод системы уравнений;

  • Ввод функции Find (x,y,z,…);

  • Получение решения нажатием клавиши <=>.

Пример 4. Необходимо решить систему алгебраических уравнений из примера 1. За начальное приближение взять: x0=1, y0=0, z0=-0.5.

Решение приведено на рис.4.



Рисунок 4



Пример 5. Необходимо решить следующую систему нелинейных уравнений:

Известно, что начальными приближениями могут быть: x0=-2, y0=-1.5, z0=3. Решение приведено на рисунке 5.



Рисунок 5



Компьютерные технологии решения дифференциального уравнения n-го порядка.

Для решения линейного или нелинейного дифференциального уравнения n-го порядка в Mathcad имеется встроенная функция odesolve,имеющая вид:

odesolve(x,b,n), где:


  • x-аргумент искомой функции y(x);

  • b-конец интервала интегрирования;

  • n-число шагов интегрирования с постоянным шагом;

Технология решения дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

  • ввод слова Given, указывающего на то, что далее следует решаемое дифференциальное уравнение и его начальные условия;

  • ввод дифференциального уравнения в произвольном виде.

  • Ввод начальных условий;

  • Ввод встроенной функции odesolve(x,b,n) с присвоением ей уникального имени с численными значениями b и n;

  • Получение решения нажатием клавиши .

Решение будет вычислено и находится в памяти компьютера. Теперь его можно вывести на экран в виде таблицы. Для этого необходимо:

  • Присвоить переменной x значения, соответствующие желаемому диапазону изменения функции y(x).

  • Ввести имя, присвоенное функции odesolve;

  • Нажать клавишу <=> для получения решения в виде таблицы.

Решение систем дифференциальных уравнений в Mathcad возможно с помощью следующих встроенных функций: rkfixed, Bulstroer, Rkadapt.

Функция rkfixed имеет вид:



Rkfixed(y,x1,x2,n,f), где

  • y- вектор начальных условий;

  • x1,x2 –интервал значений аргумента искомой функции y(x);

  • n- количество точек(шагов) решения уравнения;

  • f-вектор правых частей системы дифференциальных уравнений, каждое из которых разрешено относительно производной.

Пример 6. Необходимо решить следующую систему дифференциальных уравнений:

Начальными условиями являются: y0(0)=1,y1(0)=0

Переменные имеют значения: a=3, b=2, c=1,2 d=0,6;

Решение приведено на рисунке 6.



Рисунок 6

Функция Bulstoer

Функция Bulstoer имеет вид:



Bulstoer(y,x1,x2,n,f).

Аргументы имеют тот же смысл, что и в функции rkfixed. Систему дифференциальных уравнений она решает численным методом Булирша-Штера. Её рекомендуется применять в случае, если решения дифференциальных уравнений имеют вид гладких функций.



Пример 7. Необходимо с помощью функции Bulstoer решить систему уравнений из примера 6.

Рисунок 7

Функция Rkadapt

Функция Rkadapt имеет вид:



Rkadapt(y,x1,x2,n,f)

Переменные функции имеют тот же смысл, что и в функции rkfixed. Отличие состоит в том, что её откликом является матрица решений системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты с переменным шагом. Технология решения дифференциальных уравнений остается прежней. На рисунке 9 показано решение системы дифференциальных уравнений из примера 6 с помощью функции Rkadapt.



Рисунок 8

Содержание практической работы

Выполнить вычисления в каждом задании в соответсвии со своим вариантом.

Задание 1. Решить систему уравнений с помощью функций lsolve, Find.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Задание 2. решить дифференциальное уравнения n-го порядка с помощью функции odesolve.

1)y'=-2y

2)y'+(2y+1)ctgx=0

3)ylny+xy'=0

4)ey-x2dy-2xdx=0

5)2(xy+y)y'+x(y4+1)=0

6)2y'sin(y)*cos(y)*sin2x+cosx=0

7)(1+ex)ydy-eydx=0

8)y-xy'=3(1+x2y')

Задание 3. Решение систему дифференциальных уравнений с помощью одной из следующих встроенных функций: rkfixed, Bulstroer, Rkadapt.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)



8)
Каталог: company -> personal -> user
user -> Лекция №2 по дисциплине «Операционные системы и оболочки» Тема №2 Операционные оболочки и среды для студентов специальности 230400. 62 Информационные системы и технологии
user -> Лекция Теоретические основы географических и земельно- информационных систем План: Основные понятия
user -> Учебно-методический комплекс по дисциплине «Информационные компьютерные сети»
user -> -
user -> Лекция №7 по дисциплине«Операционные системы и оболочки» Тема №5 Управление памятью для студентов специальности 230400. 62-Информационные системы и технологии шифр наименование
user -> Лекция №13 Операционная система Windows по дисциплине«Операционные системы и оболочки»
user -> Литература dns (структура, обработка запросов, ресурсные записи) Семенов Ю. А. (Гнц итэф)
user -> Учебно-методический комплекс по дисциплине «Информационные технологии»


Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©nethash.ru 2019
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал