Кировская летняя многопредметная школа (лмш) объявляет набор учащихся на июль 2016 года о школе что такое лмш?



страница2/3
Дата28.10.2016
Размер0.68 Mb.
Просмотров376
Скачиваний0
1   2   3

ЗАДАНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Не забывайте обосновывать ответы: ответ без обоснования ценится много ниже!

(6). Когда Петру было 30 лет, у него родился сын Иван, а несколько лет спустя — дочь Мария. Сейчас Пётр вдвое старше Ивана и втрое старше Марии. Во сколько раз старше Марии будет отец через 20 лет?

(6-7). Петя, Вася, Коля, Миша и Толя играли в футбол. Один из них разбил мячом стекло. На вопрос: «Кто это сделал?» Петя, Вася и Коля ответили: «Не я», Миша: «Петя», Толя: «Вася». Потом оказалось, что двое из них сказали правду, а трое — неправду. Кто разбил стекло?

(6-7). Как полностью оклеить деревянный кубик 12 одинаковыми бумажными квадратами, не налегающими друг на друга?

4 (6-7). Аня, Ваня, Даня и Саня собирали грибы. Вернувшись, Аня сказала: "У нас с Ваней — 52 гриба", Даня сказал: "У нас с Саней — 67 грибов", Ваня сказал: "У нас с Даней — 61 гриб", а Саня сказал: "У нас с Аней — 56 грибов". Докажите, что кто-то из них ошибся.

(6-8). Можно ли в таблице 44 расставить числа 17, 18, 19, …, 32 так, чтобы произведение чисел первой строки было равно произведению чисел первого столбца, произведение чисел второй строки было равно произведению чисел второго столбца, произведение чисел третьей строки было равно произведению чисел третьего столбца и произведение чисел четвертой строки было равно произведению чисел четвертого столбца?

6 (6-8) Во время небольшого дождя на крышу сарая размером 88 м выпало 380000 капель, причем в любой квадрат размером 33 м попало не более 53000 капель. Докажите, что на крыше можно выделить квадрат размером 22 м, в который попало не менее 24000 капель. (Если капля попала на границу квадрата, то считается, что она попала в квадрат.)

(6-9). Коровы пасутся на лугу, на котором трава достигла определенной высоты и продолжает расти непрерывно и с постоянной скоростью. 15 коров могут съесть траву с трех соток за 4 дня, а 32 коровы могут съесть траву с четырех соток за 2 дня. Сколько коров нужно, чтобы съесть всю траву на площади 6 соток за 3 дня?

(6-10). В турнире по гандболу участвовали 10 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одному разу. За победу давали 2 очка, за ничью — 1 очко, а за поражение — 0 очков. Наибольшее число побед одержала в турнире команда «Молотило». У неё же было наибольшее среди всех команд число забитых мячей и наименьшее число пропущенных. Найдите самое низкое место, на котором она при этом могла оказаться.

9 (6-10) На окружности отмечены 2016 точек, каждые две отмеченные точки соединены отрезком. В двух отмеченных точках находятся Заяц и Волк. Перед началом игры Заяц может стереть любые k отрезков. Далее Заяц и Волк ходят по очереди, начинает Заяц. За один ход можно переместиться из текущей точки в любую точку, связанную с ней отрезком. При каком наименьшем k Заяц может стереть k отрезков так, чтобы иметь возможность никогда не оказаться в одной вершине с Волком?

10 (7-10). На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC выбрали точки C1, A1 и B1 соответственно таким образом, что C1B = 2AC1, A1C = 2BA1, B1A = 2CB1. Оказалось, что треугольник A1B1C1 — равносторонний. Обязательно ли треугольник ABC — равносторонний?

11 (7-10). В ячейку №1 памяти компьютера записано число a. Компьютер умеет по нашей команде складывать, вычитать и умножать числа из указанных нами ячеек памяти, записывая результат в указанную нами ячейку (пример команды: сложить числа из ячеек 100 и 101 и записать результат в ячейку 102; ячеек памяти бесконечно много, и в каждую можно записать число любой длины), а также сообщать о числе в указанной нами ячейке, положительно оно, отрицательно или равно 0. Никакой другой информации компьютер не выдаёт и никаких других команд не выполняет (в частности, нельзя вводить в компьютер числа: можно работать только с числом a и полученными из него). Как с помощью этого компьютера найти приближённое значение числа a с точностью до 1/1000000?

12 (8-10). Положительные числа x и y таковы, что . Докажите, что x  y.

13 (8-10). В параллелограмме ABCD угол A — острый. Точка E — середина стороны BC. Точка F на стороне AD такова, что EF = DE. Точка G — основание высоты, опущенной из D на AB. Докажите, что AGF = CED.

14 (8-10). На доске 100×100 расставляют 2500 королей так, чтобы они не били друг друга. Докажите, что число таких расстановок не больше, чем а) 515022500; б) (51)100.

15 (9-10). Найдите все функции f, определённые на множестве всех натуральных чисел и принимающие натуральные значения, такие, что (n–1)2 < f(n)f(f(n)) < n2+n при всех натуральных n.

16 (9-10). На числовой прямой выбрали два набора открытых интервалов — A и B. Набор A состоит из 2017 интервалов, причем любые два из них пересекаются. Известно, что любой интервал из набора A целиком содержит по крайней мере два непересекающихся интервала из набора B. Докажите, что найдется интервал из набора B, который целиком содержится по крайней мере в 1009 интервалах из набора A.

17 (10). Можно ли соединить вершины куба с ребром 3 сетью отрезков так, чтобы из любой вершины в любую другую можно было пройти по этим отрезкам, и общая длина отрезков составляла бы меньше 19?

Работу составил И.С. Рубанов.



ЗАДАНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ФИЗИКЕ4

Рис. 2

5 (8). «Тренировка». Двое спортсменов бегут с постоянными скоростями по круговой дорожке стадиона. Удалившись от контрольной точки на некоторое расстояние, первый спортсмен заметил, что если он развернётся и продолжит бежать в обратном направлении, то он окажется у контрольной точки одновременно со вторым спортсменом, и то же самое случится, если продолжит бежать в прежнем направлении. Определите, при каком удалении от контрольной точки мог находиться наблюдательный спортсмен.

6 (8). «Тетрис». Определите, какое давление на дно прямоугольного стакана будет оказывать конструкция, составленная из фигурок компьютерной игры «Тетрис» (рис. 2) после того, как все фигурки упадут на свои места. Фигурки составлены из кубиков, имеющих длину l = 10 см, массу m = 30 г. Известно, что в данной игре фигурки смещаться по горизонтали и поворачиваться не могут.

(8-9). «Спортивное достижение». Эспандер — устройство для укрепления мышц плечевого пояса, представляющее собой пять параллельных одинаковых пружин, прикреплённых концами к двум прочным ручкам. Если папа держит одну ручку, то Вася правой рукой растягивает эспандер на 75 см, а левой — на 60 см.

1) На сколько Вася растянет эспандер, если возьмёт его в руки и будет действовать обеими руками?

2) Папа отцепил одну из пружин. Как изменятся самостоятельные Васины результаты?

(8-9). «Опыт с полиэтиленовым пакетом». Вставьте один полиэтиленовый пакет в другой. Руками разгладьте пакеты на столе, приподнимите, а затем вытащите внутренний пакет. Расположите пакеты на небольшом расстоянии друг от друга, но так, чтобы они не касались друг друга и вашей одежды. Пронаблюдайте и объясните явление.

О

С

R

h

Рис. 3

Проведите другой эксперимент: расправьте на столе новый полиэтиленовый пакет и с помощью мелкой тёрки искрошите на него небольшое количество горького шоколада. Приподнимите пакет со стола. Объясните, почему шоколадные крошки подпрыгивают. Наблюдается ли данное явление, если вместо пакета использовать лист бумаги?



(8-10). «Неваляшка». Однородное тело, состоящее из цилиндра и полушара (рис. 3), поставлено на гладкую горизонтальную поверхность. При каких значениях h это положение устойчиво? (Центр тяжести полушара находится в точке C, где расстояние ОС = 3R/8.)

А

В

Рис. 4

10 (8-10). «Самостоятельная задача». Учитель физики попросил Васю придумать задачу по гидростатике. Хитрый Вася не стал утруждать себя и списал условие из старого задачника, заменив в ней некоторые числовые данные: «В цилиндрический сосуд с водой поместили кусок льда массой M = 100 г с вмороженным в него кусочком алюминиевого сплава массой m = 30 г, при этом уровень воды в стакане поднялся на h1 = 4,0 см. После таяния льда уровень воды опустился на h = 0,25 см. Определите плотность металла». У него никак не получался правильный ответ. Почему? Измените только одно числовое данное в условии, чтобы задача могла быть решена. Представьте решение «правильной» задачи.

11 (8-10). «Электросопротивление». Найдите сопротивление цепи (рис. 4), составленной из одинаковых отрезков проволоки сопротивлением R каждый.

А

В

А4

А1

А5

А2

А6

А3

V1

V2

Рис. 5

12 (8-10). «Электрические измерения». Найдите показания всех приборов в цепи, изображённой на рис. 5. Сопротивления всех резисторов равны R, приборы идеальные. Напряжение между т. А и В равно U.

F F 2F

2F



Рис. 6

13 (8-10). «Зеркальная система». Перечертите рис. 6 в работу. Постройте изображения стрелки в оптической системе, состоящей из линзы и плоского зеркала, расположенного вдоль оптической оси линзы, как показано на рис.

Рис. 7

a

b



m1



m2

14 (9-10). «Мячик». Каучуковый мячик запускают с высоты h = 10 м над поверхностью земли со скоростью u = 10 м/с под углом  = 30 к горизонту. Считая удары мячика о горизонтальную поверхность земли абсолютно упругими, сопротивление воздуха равным нулю, определите, через какое время мячик третий раз (включая момент запуска) окажется на высоте h.

Рис. 8

А

Г

В

1

2



Б

15 (9-10). «Смещение». Определите, на какое расстояние сместится тележка массой М, когда груз массой m1 достигнет основания наклонной плоскости тележки (рис. 7). Считайте, что масса катушки m2 равномерно распределена по её ободу радиусом R, внутренний радиус катушки, на который намотана нить, равен r. Коэффициент трения между грузом и тележкой равен . Груз массой m1 достигает основания наклонной плоскости раньше, чем катушка окажется у любого из краёв горизонтального участка тележки, катушка при качении не проскальзывает. Необходимые геометрические размеры тел возьмите из рисунка.



P

В

А

О

Рис. 9

16 (9-10). «АБВГ». Конструкция (рис. 8), изготовленная из невесомых блоков и пружин с жёсткостью k1 и k2, а также грузов А, Б, В и Г с массами m1, m2, m3 и m4 соответственно, находится в равновесии. С каким ускорением начнёт двигаться каждое тело сразу после того, как пружина 2 неожиданно порвётся?

17 (9-10). «На обруче». К тонкому очень лёгкому обручу радиуса R прикреплены два одинаковых грузика в т. А и В (рис. 9). В т. P обруча сделана петелька, за которую обруч подвешен на гвоздик и может совершать малые колебания без потерь энергии. Характеризуя расположение грузиков угловым расстоянием 2, начертите график зависимости периода малых колебаний Т от угла .

18 (10). «На дне». Начинающий инженер Вася предложил «революционный» метод хранения пропана под водой: в особо прочные пластиковые сферические баллоны объёмом V = 2 м3 закачивается газ до давления 5 атм (1 атм = 10Па), а затем каждый баллон соединяется через прочный трос с присоской, помещённой на дно незаполненного бассейна. Воздух из-под присоски практически полностью эвакуируется, после чего бассейн заполняется водой до высоты 20 м. Определите минимальную площадь присоски S, которая смогла бы удержать такой баллон с пропаном, если масса пустого баллона вместе тросом и присоской m = 30 кг. Считать, что газ в баллоне – идеальный с молярной массой  = 44 г/моль, температура газа равна T = 293 К, атмосферное давление – нормальное; баллоны при наполнении бассейна водой оказываются практически у поверхности воды и сохраняют постоянный объём, объём их стенок мал.

1

2



3

0 V



Т

Т2

Т1

Рис. 10

а

19 (10). «Обогрев». В классе на время  был включен обогреватель мощностью Р. В результате температура воздуха повысилась от t1 до t2. Считая воздух идеальным газом, определите, на сколько увеличилась внутренняя энергия воздуха в комнате. Считайте, что дверь в классе закрывается неплотно.

20 (10). «Большая ли разница». Гелий переходит из состояния 1 в состояние 2 в одном случае по кривой 1-а-2, которая является параболой, а в другом – по двум прямым отрезкам 1-3 и 3-2 (рис. 10). Какое количество теплоты получил газ при переходе
1-3-2, если при переходе 1-а-2 к нему было подведено 2200 Дж теплоты? Температуры Т1 = 250 К, Т2 = 360 К.

21 (10). «Два конденсатора». Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми обкладками заряжены одинаковыми зарядами (+Q и –Q каждый). Расстояние между обкладками у первого конденсатора в 3 раза больше, чем у второго. Как изменится энергия электростатического поля, если второй конденсатор вставить между обкладками первого так, что все пластины параллельны? Краевые эффекты на границах пластин конденсаторов не учитывайте.

Работу составили: Л.И. Василевская, И.А. Земцов, К.А. Коханов, М.П. Позолотина, А.П. Сорокин



ЗАДАНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ХИМИИ

Условия задач переписывать не нужно!

Задания выполняйте только за тот класс, в который поступаете!

1. (8) На схеме приведены превращения соединения А:

А + Cl2  … ; CuCl2 (р-р) + А  …; А + O2  …; А + H2S  …; S + O2  А.

Предложите вещество А и запишите уравнения осуществляемых превращений, укажите условия реакций.

2. (8) В соответствии с продуктами и сохраняя коэффициенты, восстановите уравнения реакций:

= NaCl + O2 + H2O; = N2 + 3H2O + 6Cu; = 2KCl + I2 + 2H2O;



= 4K2SO4 + 3Br2 + Cr2(SO4)3 + 7H2O; = H2O + 2O2.

3. (8) Предложите методику экспериментального определения количественного состава смеси порошков: железа, меди, цинка, мела, сажи и поваренной соли. В вашем распоряжении имеются вода, соляная кислота, а также все необходимое лабораторное оборудование. Составьте план определения и напишите уравнения используемых химических реакций.

4. (8) Давление водяных паров при температуре 20°С равно 2337 Па. Рассчитайте массу воды, которая содержится в воздухе объемом 100 м3.

5. (8)  Расшифруйте схему превращений. Составьте уравнения реакций, укажите условия их осуществления.

6. (8) При прокаливании смеси нитратов натрия и серебра ее масса уменьшается в 1,382 раза. При этом выделяется 2,8 л газообразных веществ (н.у.). Вычислите массовые доли солей в исходной смеси и массу твердого продукта после промывки продуктов разложения водой и высушивания.

7. (8-9) Вычислите тепловой эффект реакции СО2(г) + Н2(г) ⇄ СО(г) + Н2О(г) при стандартных условиях. Реакция протекает в закрытой системе. Определите возможность её протекания при температуре 50 и 1000 К.

8. (8-9) Найдите молекулярную формулу вещества А, если известно, что его предшественник, вещество В находят в растениях семейства капустных, таких как брокколи, цветная капуста, кольраби, кресс-салат и др. При повреждении растения (что происходит, например, при пережёвывании) растительный фермент трансформирует В в А, который является антибактериальным агентом и участвует в системе растительной защиты от инфекции. Известно, что при сгорании 0,1 г вещества А образуется 0,0758 л углекислого газа (н.у.), 0,0558 г воды, 0,00632 л азота (н.у.) и 0,0722 г сернистого газа. Плотность паров вещества по азоту составляет 6,321.

а) Составьте структурную формулу вещества А.

б) Назовите вещество А по систематической номенклатуре.

9. (8-9) Испокон веков яды считались действенными средствами для расправы с соперниками. Для борьбы с отравителями необходимо было придумать способ своевременного обнаружения яда. Одним из самых распространенных ядов XVII в. был оксид X. Первый ученый, разработавший способ обнаружения Х, был Р. Бойль. Проводя опыты, он обнаружил, что если в раствор, содержащий Х, добавить хлорид ртути(II), то в растворе образуется желтый осадок ртутной соли. В XVIII в. Т. Бергман, автор одного из первых пособий по аналитической химии, обратил внимание, что при взаимодействии оксида Х с серой образуется вещество желтого цвета. Однако эти наблюдения не легли в основу специфического и чувствительного способа обнаружения Х. Появлением такого метода общество обязано К. Шееле. Растворив оксид Х в соляной кислоте, Шееле получил Х’овую кислоту, которую затем восстановил металлическим цинком до Y. По резкому чесночному запаху, появляющемуся в ходе реакции можно было сделать вывод об обнаружении Х.

Английский химик Джеймс Марш в 1836 г. усовершенствовал способ К. Шееле. Обнаружив, что Y распадается при нагревании, образуя Х, он предложил прибор, который позволял определять яд не прибегая к риску отравиться Y’ом. Прибор Марша изображен на рисунке справа. Эта методика позволяет обнаружить Х при содержании порядка тысячной доли миллиграмма. Однако при неосторожно работе с прибором Марша может произойти взрыв.



а) Приведите формулы и названия всех зашифрованных веществ.

б) Напишите уравнения всех упомянутых реакций.

в) Образование смесей каких газов может привести к взрыву прибора Марша?

г) В какой части прибора Марша образуется Х и в каком виде?

10. (8-9) Руководитель химического кружка разделил всех на 3 группы и каждой предложил выполнить анализ одного и того же раствора, представляющего собой смесь катионов II аналитической группы по кислотно-основной классификации (К катионам второй группы по кислотно-основной классификации относятся Pb2+, [Hg2]2+, Ag+. Число катионов в анализируемом растворе неизвестно: раствор может содержать все названные катионы, любые два или даже один).


Схема систематического хода анализа смеси катионов второй аналитической группы
Используя общую схему анализа смеси катионов II группы (рис. справа) и опираясь на свои знания об условиях образования и растворения осадков, ребята каждой исследовательской группы несколько по-разному подошли к выполнению задания, получив в итоге разные результаты, указанные ниже в таблице.

Экспериментальные данные





операции

группы

Выполняемая

операция

Используемый

реактив

Наблюдения

Вывод, сделанный

школьниками

1

I

Осаждение

хлоридов


катионов 2 группы

2М раствор HCl

Выпадение белого осадка (1)

1) В осадке 1 могут быть PbCl2, AgCl, Hg2Cl2

2) Раствор 1 не анализируется



II

2М раствор HCl

III

конц. раствор HCl

2

I

Осадок 1

растворение PbCl2



Горячая дистиллиро-ванная вода

Заметного растворения осадка не произошло

1) В осадке 2 могут остаться AgCl, Hg2Cl2;

2) В растворе 2 - Pb2+



II

III

3

I

Раствор 2 –обнаружение Pb2+

а) KI

б) K2CrO4



Выпали желтые осадки

Обнаружены катионы Pb2+

II

III

Осадков нет

Катионы Pb2+ не обнаружены

4

I

Осадок 2

отделение Ag+ и обнаружение [Hg2]2+



Водный концентрированный раствор аммиака

Осадок (3)

почернел


1) Обнаружены катионы [Hg2]2+

2) Ag+ перешли в р-р 3 в виде аммиакат-ного комплекса



II

III

5

I

Раствор 3

обнаружение Ag+



HNO3

Образовался белый осадок

Обнаружены катионы Аg+

II

K2CrO4

Осадка нет

Катионы Аg+ не обнаружены

III

KI

Осадка нет

Резуль-тат

анализа

I

В анализируемом растворе обнаружены катионы Pb2+, [Hg2]2+ и Ag+

II

В анализируемом растворе обнаружены катионы Pb2+ и [Hg2]2+

III

В анализируемом растворе обнаружены только катионы [Hg2]2+

Укажите, участники какой группы, оказались правы. В чем ошиблись школьники других групп? Опишите суть происходящих процессов, напишите уравнения протекающих реакций.


Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3


База данных защищена авторским правом ©nethash.ru 2017
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал